问题描述：
振型 i 在 X 方向地震作用下的振型质量参与系数为：
请问，推导该公式的基本原理和具体过程是怎样的呢？
解答：
振型质量参与系数：在特定方向的单位地震加速度荷载作用下，振型 i 产生的基底剪力与整个结构的基底剪力的比值。关于振型质量参与系数的推导，具体如下：
1、在特定方向的单位地震加速度荷载作用下，耦合的多自由度体系的动力平衡方程如下：
设结构的静力自由度总数为 n，则 n 阶列向量 {I } 的表达式为：
a、对于 X 方向的地震加速度，则有：
b、对于 Y 方向的地震加速度，则有：
2、对节点位移进行坐标变换，以广义坐标代替几何坐标，即：
其中，N 为结构的振型总数（即结构的动力自由度总数）
3、利用结构振型的正交性，并假设阻尼矩阵也满足正交条件，即可将多自由度体系的动力平衡方程解耦合，得到 N 个独立的单自由度体系的动力平衡方程，如下：
4、考虑到结构振型关于质量的归一化处理，单自由度体系的动力平衡方程可进一步简化为：
其中，振型参与系数为：
由于等号右边的动力荷载并不随时间变化（即非时间函数），故该方程的稳态解即静力解。即：
5、通过振型叠加将节点位移由广义坐标转换为几何坐标，则振型 i 对应的节点位移向量为：
6、振型 i 对应的地震力向量为：
7、振型 i 中施加在节点自由度 j 上的地震力为：
8、振型 i 的基底剪力为：
a、对于 X 方向的地震加速度，根据 {I } 的表达式可得：
b、对于 Y 方向的地震加速度，根据 {I } 的表达式可得：
9、对于单位地震加速度荷载，整个结构的基底剪力在数值上与结构在特定方向上的总质量相等，具体如下：
a、对于 X 方向的地震加速度，根据 {I } 的表达式可得：
b、对于 Y 方向的地震加速度，根据 {I } 的表达式可得：
10、综上，振型 i 在 X 和 Y 方向地震作用下的质量参与系数分别为：
如果用户提取数量足够的振型数量，则累计的质量参数系数可达到规范要求的 90% 以上。